【山東成考專升本】數學1--微分知識點睛(導數與微分)

微分知識點睛(導數與微分)

知識結構：

必備基礎知識

★ 導數的定義（增量比值的極限）

（也可記為, 或. ）

★ 可導性與連續性的關系

可導連續有極限

注：函數在某點處連續是函數在該點處可導的必要條件，但不是充分條件.

★ 導數的幾何意義

函數在點x₀處的導數在幾何上表示曲線在點M(x₀, f(x₀))處的切線的斜率. 

切線方程為：

法線方程為：

★ 導數公式（必須牢記）

(1)  (C)￠=0,                        (2)  (x^m)￠=m x^m-1,

(3)  (sin x)￠=cos x,                (4)  (cos x)￠=-sin x,

(5)  (tan x)￠=sec²x,                 (6)  (cot x)￠=-csc²x,

(7)  (sec x)￠=sec x×tan x,           (8)  (csc x)￠=-csc x×cot x,

(9)  (a ^x)￠=a ^x ln a,                 （10）(e ^x)￠=e^x,

(11) ,                  (12) ,

(13) ,               (14) . 

(15) ,                (16) .

★ 函數的和、差、積、商的求導法則

★ 復合函數的求導法則（從外到里層層求導，外面求導，里面不變）

定理3  若函數在點x處可導, 而在點處可導, 則復合函數在點x處可導, 且其導數為

或                  

★ 隱函數的導數（牢記是的函數）

如方程F(x，y)=0確定了y=y(x)，只需方程兩邊對x求導，注意y=y(x)。

步驟：（1）方程兩邊同時對x求導（注意是的函數）

（2）解出

★ 對數求導法：

先在函數兩邊取對數，然后在等式兩邊同時對自變量求導，最后解出所求導數.

★ 高階導數（從低階到高階逐階求導）

y￠￠=(y￠)￠, f ￠￠(x)=[f ￠(x)]￠ , .

★ 微分

1) 微分的定義

定義  設函數在某區間內有定義, 及在這區間內, 如果函數的增量可表示為：

其中A是與無關的常數, 則稱函數在點可微, 并且稱為函數在點處相應于自變量改變量的微分, 記作, 即

2) 函數可微的條件

定理 : 函數在點可微的充要條件是：

在點處可導,且即。

主要考察知識點和典型例題：

考點一：導數的概念

典型例題： 設存在, 求極限

解：

【注】 這種題目一般只出填空或選擇，我們可以按以下方法解題：這種題目的結果均為：，其中等于分子中的個數除以分母中的個數。

考點二：導數的幾何意義

切線方程為：

法線方程為：

典型例題： 求曲線在點處的切線方程.

解  因為  

故所求切線方程為 即

典型例題：已知在處的切線平行于直線，則=_______。

解  先求在處的切線的斜率：，所以。

由于切線平行于直線，而已知平行直線的斜率，

所以斜率相等，即：，。

考點三：函數和、差、積、商的求導法則

的和、差、商 (除分母為 0的點外) 都在點 x 可導,

典型例題： , 求f ￠(x)及. 

解: ,  

.