2024年山東成人高考高起點《理數(shù)》重點知識復(fù)習(xí)（四）

　　[例2]已知奇函數(shù)f(x)的定義域為R，且f(x)在[0，+∞)上是增函數(shù)，是否存在實數(shù)m,使f(cos2θ-3)+f(4m-2mcosθ)>f(0)對所有θ∈[0, ]都成立?若存在，求出符合條件的所有實數(shù)m的范圍，若不存在，說明理由.

　　命題意圖：本題屬于探索性問題，主要考查考生的綜合分析能力和邏輯思維能力以及運算能力，屬★★★★★題目.

　　知識依托：主要依據(jù)函數(shù)的單調(diào)性和奇偶性，利用等價轉(zhuǎn)化的思想方法把問題轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)在給定區(qū)間上的最值問題.

　　錯解分析：考生不易運用函數(shù)的綜合性質(zhì)去解決問題，特別不易考慮運用等價轉(zhuǎn)化的思想方法.

　　技巧與方法：主要運用等價轉(zhuǎn)化的思想和分類討論的思想來解決問題.

　　解：∵f(x)是R上的奇函數(shù)，且在[0，+∞)上是增函數(shù)，∴f(x)是R上的增函數(shù).于是不等式可等價地轉(zhuǎn)化為f(cos2θ-3)>f(2mcosθ-4m),

　　即cos2θ-3>2mcosθ-4m,即cos2θ-mcosθ+2m-2>0.

　　設(shè)t=cosθ,則問題等價地轉(zhuǎn)化為函數(shù)g(t)=t2-mt+2m-2=(t- )2- +2m-2在[0，1]上的值恒為正，又轉(zhuǎn)化為函數(shù)g(t)在[0，1]上的最小值為正.

　　∴當(dāng) <0,即m<0時，g(0)=2m-2>0 m>1與m<0不符;

　　當(dāng)0≤ ≤1時，即0≤m≤2時，g(m)=- +2m-2>0

　　4-2

　　當(dāng) >1,即m>2時，g(1)=m-1>0 m>1.∴m>2

　　綜上，符合題目要求的m的值存在，其取值范圍是m>4-2 .