2024年山東成人高考高起點《理數》重點知識復習（四）

　　[例2]已知奇函數f(x)的定義域為R，且f(x)在[0，+∞)上是增函數，是否存在實數m,使f(cos2θ-3)+f(4m-2mcosθ)>f(0)對所有θ∈[0, ]都成立?若存在，求出符合條件的所有實數m的范圍，若不存在，說明理由.

　　命題意圖：本題屬于探索性問題，主要考查考生的綜合分析能力和邏輯思維能力以及運算能力，屬★★★★★題目.

　　知識依托：主要依據函數的單調性和奇偶性，利用等價轉化的思想方法把問題轉化為二次函數在給定區間上的最值問題.

　　錯解分析：考生不易運用函數的綜合性質去解決問題，特別不易考慮運用等價轉化的思想方法.

　　技巧與方法：主要運用等價轉化的思想和分類討論的思想來解決問題.

　　解：∵f(x)是R上的奇函數，且在[0，+∞)上是增函數，∴f(x)是R上的增函數.于是不等式可等價地轉化為f(cos2θ-3)>f(2mcosθ-4m),

　　即cos2θ-3>2mcosθ-4m,即cos2θ-mcosθ+2m-2>0.

　　設t=cosθ,則問題等價地轉化為函數g(t)=t2-mt+2m-2=(t- )2- +2m-2在[0，1]上的值恒為正，又轉化為函數g(t)在[0，1]上的最小值為正.

　　∴當 <0,即m<0時，g(0)=2m-2>0 m>1與m<0不符;

　　當0≤ ≤1時，即0≤m≤2時，g(m)=- +2m-2>0

　　4-2

　　當 >1,即m>2時，g(1)=m-1>0 m>1.∴m>2

　　綜上，符合題目要求的m的值存在，其取值范圍是m>4-2 .